Vsebinski program tekmovanja srednješolcev v znanju matematike za Vegova priznanja
Državno tekmovanje in odbirni del šolskega tekmovanja
K pregledu potrebnih znanj tekočega letnika in ravni tekmovanja je potrebno dodati snov vseh predhodnih letnikov in nižjih ravni tekmovanja.
| Letnik | Odbirni del šolskega tekmovanja | Državno tekmovanje |
|---|---|---|
| 1. | Naravna, cela, racionalna in realna števila, računanje s števili Deljivost, praštevila, Evklidov algoritem, linearne Diofantske enačbe Izrazi, enačbe (linearne in razcepne), neenačbe, sistemi enačb in neenačb Odstotni oz. procentni račun, premo in obratno sorazmerje Izjave, množice, statistika Dirichletovo načelo Logične naloge (zvijače in strategije) | Absolutna vrednost |
| 2. | Geometrija v ravnini (geometrijski liki, skladnost, podobnost, Pitagorov izrek, kotne funkcije v pravokotnem trikotniku, središčni in obodni kot, tetivni in tangentni štirikotnik, transformacije v ravnini ...) Pravokotni koordinatni sistem (tudi računanje dolžin, razpolovišč daljic, obsegov in ploščin osnovnih geometrijskih likov ...) Linearna funkcija Vektorji Diofantske enačbe | Potence in koreni Kvadratne enačbe in diskriminanta |
| 3. | Kvadratna, eksponentna, logaritemska, polinomska in racionalna funkcija Kotne funkcije Iracionalne enačbe in neenačbe Razreševanje likov in teles (trigonometrija, kosinusni in sinusni izrek, adicijski izreki ...), obseg in ploščina lika, prostornina in površina telesa Kompleksna števila | Trigonometrijske enačbe |
| 4. | Stožnice in analitična geometrija (obravnava geometrijskih objektov v koordinatnem sistemu) Zaporedja in vrste Indukcija | Odvod Kombinatorika (preštevanje, permutacije, kombinacije, variacije ...) Verjetnost (računanje verjetnosti, računanje z dogodki ...) |
Mednarodna tekmovanja
K pregledu potrebnih znanj je potrebno dodati vso snov za državno tekmovanje in odbirni del šolskega tekmovanja ne glede na letnik.
Geometrija
- Trikotnik in krožnica, usmerjeni koti, koncikličnost, kolinearnost, potenca točke na krožnico
- Pomembnejši izreki: Talesov, Cevov, Menelajev, Miquelov, Stewartov, krožnica devetih točk
- Vektorji, kompleksna števila v geometriji, stereometrija, Eulerjeva formula
- Transformacije: vzporedni premik, vrtež, razteg, inverzija, konstrukcije
- Analitična geometrija (v trikotniku), Apolonijeva definicija krožnice, geometrijsko mesto točk (analitično / geometrijsko), krivulje II. reda
Polinomi
- Ničle, Vietova pravila, deljivost, Hornerjev in Evklidov algoritem
- Razcepnost, enačbe tretje in četrte stopnje (resolventa), Lagrangeova interpolacija
Neenakosti
- Potenčne sredine, pomembnejše neenakosti: trikotniška, Cauchyjeva, Jensenova, Hölderjeva, Minkowskega, Bernoullijeva
- Neenakosti v geometriji
Kombinatorika
- Množice, klasična kombinatorika
- Seštevanja, preštevanja, identitete z binomskimi simboli
Teorija števil
- Kongruence, diofantske enačbe (Pellova enačba)
- Pomembnejši izreki: Eulerjev, Fermatov, Dirichletov, Wilsonov, kitajski izrek o ostankih
- Celoštevilske funkcije: celi del, Eulerjeva funkcija,
- Uporaba kompleksnih števil in hiperboličnih funkcij v teoriji števil
Analiza
- Zaporedja: aritmetično, geometrično, Fibbonaccijevo, seštevanje zaporedij, indukcija
- Funkcije in funkcijske enačbe
- Uporaba kompleksnih števil v trigonometriji
Diferenčne enačbe
- Uporaba v kombinatoriki
Rodovne funkcije
- Uporaba v kombinatoriki
- Seštevanje vrst
Grafi
- Poti in cikli, obhodi in sprehodi, planarnost, barvanje povezav in točk, Ramseyev izrek
Zvijače
- Dirichletovo načelo
- Strategije, potencial, barvanja, znanci
- Načelo ekstremnega elementa
Literatura
Prvo branje:
- Revija: Presek
- Elektronska revija Brihtnež.
Pregled potrebne teorije in zbirka rešenih nalog:
- M. Željko s sodelavci: Altius, Citius, Fortius, 2. dopolnjena izdaja
- I. Majcen: Smelo na olimp: teorija števil
Zbirke rešenih nalog:
- V. Batagelj, T. Pisanski: Rešene naloge iz matematike z republiških tekmovanj, I. del
- V. Batagelj, T. Pisanski: Rešene naloge iz matematike z republiških tekmovanj, II. del
- B. Lavrič: Rešene naloge iz matematike z republiških tekmovanj, III. del
- M. Željko: Rešene naloge iz matematike z državnih in izbirnih tekmovanj, IV. del
- D. Felda, A. Tiegl, M. Željko: Rešene naloge iz matematike s šolskih in izbirnih tekmovanj
- A. Jurišić: Rešene naloge z mednarodnih matematičnih olimpiad, I.del
- D. Felda, G. Dolinar, M. Željko: Evropski matematični kenguru, 1996-2001
- D. Felda, G. Dolinar, M. Željko: Evropski matematični kenguru, 2002-2005
- D. Felda, G. Dolinar, M. Željko: Evropski matematični kenguru, 2006-2008
- D. Felda, G. Dolinar, M. Željko: Mednarodni matematični kenguru, 2009-2011
- O. Arnuš, D. Hvastija: Dodatni pouk matematike za srednje šole: zbirka nalog in metodičnih pristopov za učitelje
- F. Savnik: Izbrane naloge za intenzivni pouk matematike v 1. letniku
- F. Savnik: Izbrane naloge iz elementarne matematike